MAT. RADICAL ARITMÉTICO

Hamamos de radical aritmético toda expressão da forma , com a R ₊ , n N e n 2.

Exemplos:

1) ( raiz quadrada de 20)

2) ( raiz cúbica de 28)

3)

4) (raiz quinta de 8)

Analisaremos, agora, algumas propriedades válidas para os radicais aritméticos, isto é, propriedades válidas para radicais positivos ou nulos. No caso de radicandos negativos, vale a pena realçar que essas propriedades podem não ter validade.

1^a propriedade

exemplos :

1) = 2, pois 2⁴ = 16.

Então, = 2

2) = 3, pois 3⁵ = 243.

Então, = 3

Generalizando, para a R ₊ , n N e n > 1, escrevemos:

Exemplos:

³ 8³ = 8

2^a propriedade

Consideremos as expressões e

Pela primeira propriedade temos:

= 2 e = 2

Então, =

Agora, vemos que: = = = =

Generalizando, para a R e considerando que os índices e os expoentes apresentados representam números naturais maiores que 1:

ou

Exemplos:

1)

2) ⁵ 3¹⁵ = ^5:5 3^15:5 = 3³ = 27

3^a propriedade

Consideremos as expressões e

Calculando, temos: Então,

=

= 2 = 2

Agora, vemos que:

Generalizando, para a R ₊ e considerando que todos os índices apresentados representam números naturais maiores que 1, escrevemos:

Exemplos :

1)

2) ^{5 3} 2 = ^{5 .3 .2} 2 = ³⁰ 2

4^a propriedade

Consideremos as expressões .

Calculando:

Temos, então :

Generalizando, para a R ₊ , b R _+, n N e n > 1, escrevemos:

Exemplos:

1)

2) (a R ₊ e b R ₊)

5^a propriedade

Consideremos as expressões e .

Calculando: = e =

Temos, então : =

Generalizando, a R ₊ , b R _+, n N e n > 1, escrevemos:

EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO

exemplos :

1)

= ------------------------------------transformamos num produto de radicais

= 5 . -----------------------------------aplicamos a 1ª propriedade

=

2)

= --------------------------transformamos num produto de radicais

= . 3 . 7 --------------------------aplicamos a 1ª propriedade

= . 21

= 21

De acordo com os exemplos dados, temos, em geral:

Se um ou mais factores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, esses factores podem ser extraídos do radical e escritos como factores externos (sem o expoente).

Nos casos em que o radicando apresenta o expoente de um factor maior que o índice do radical, esse factor pode ser extraído através da sua transformação num conveniente produto de potências.

Exemplos:

1)

2)